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自然とパイ篇

円周率パイは、円の幾何学に由来する数字だ。

円周の直径に対する比率が３より少し大きいということは
古代インドやバビロニアでも知られていた。

3.14159・・・・
現在では１３兆桁以上まで計算されている割り切れない数は、
科学研究の様々な局面で顔を出す。

ケンブリッジ大学教授のハンス・ヘンリック・ステルムは
いろいろな川の長さと、水源から河口までの直線距離の比を求めてみた。

その数字は、ほとんど、円周率と等しかった。

川は常に曲がろうとする。
川はカーブの外側の流れが速いため侵食が進み
川のカーブはさらに急になる。
このようにして川はどんどん曲がっていく。

しかし、川は曲がるほどにバイパスができやすくなり
バイパスができると川はまっすぐになり
取り残された部分は三日月湖になる。

カオスと秩序のせめぎ合いの数字が
3.14からつづく無理数なのだ。

スパイと数学篇

純粋数学は現実世界には応用するのは難しい分野だか
素数理論はそれができる数少ない領域である。

１９７７年マサチューセッツ工科大学の
ロナルド・リヴェストのチームは
暗号に関する画期的なアイデアを思いついた。

暗号用の鍵をつくる際に、素数を二つ用意し、
それを掛け合わせて大きな非素数にする。

通信文を暗号化するには、
この大きな非素数が分かっていればよい。
一方、暗号化された文を復元するするには
もとになった２つの素数を知らなければならない。

例えば、
５８９になる２つの素数を突き止めるのには
家庭用のパソコンで３分もかければ
素数が３１と１９であることが分かる。

だが、実用化されている非素数は１００桁を超えるため
世界一性能のいいコンピューターを使っても数年かかる。

年に１度、暗号鍵を変更すれば、
敵のスパイはまた計算を最初からやり直さなければならない。

フェルマーの最終定理　300年間解けない問題

17世紀から20世紀にかけて。
あらゆる科学の分野は、飛躍的に発展した。
17世紀、
人の体質は4つの体液の配分で決まるという体液説が主流だった。
20世紀には遺伝子組み換えが可能になった。
ガリレオが月を望遠鏡ではじめて観測し、天体であることが分かり、
その300年後、人類は月に降り立った。

しかし、数学では、人類の知識の進歩に
300年間耐えてきた問題がある。

フェルマーの最終定理。

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ

nが2以上の場合、nは整数の解を持たない。

この問題の起源は、ピタゴラスの時代にまで遡る。

フェルマーの最終定理　ピタゴラスというはじまり

紀元前6世紀を生きたピタゴラスは
古代バビロニアとエジプトを20年間にわたり旅をし
当時の世界に存在した数学の規則をすべてを身につけた。

その後、ピタゴラス教団を設立し
600人の弟子とともに数論の研究を行った。

彼らは、数と数の関係を理解することが
宇宙を理解することにつながると信じていた。

例えば、約数の和とその自身の数が同じになる
完全数というものがある。

神が天地を6日間で創造したのは6が完全数だからであり、
月が28日で地球を周回するのは28が完全数だからとされた。

また、複数のハンマーの重さが整数の比である時、
調和した和音が生まれることを発見した。

ピタゴラスは、自然現象の背後に
数学的規則があることをはじめて明らかにした。

なかでも有名なのは直角三角形の斜辺の2乗は、
他の2辺の2乗の和に等しいことを示した式。

X²+Y²=Z²
だろう。

いわゆる、ピタゴラスの定理だ。

フェルマーの最終定理　天才のアマチュア

ピエール・ド・フェルマーは1601年にフランスで生まれた。
彼は裁判所の仕事に忙殺されていたが
わずかな暇を見つけては数学の研究に没頭した。

数学者のどの団体にも属さず
自分が解いた証明を解いてみろと様々な数学者に手紙を送った。
そして、フェルマーは自分が解いた答えを誰にも明かさなかった。

フェルマーと定期的に親交があったのは
数学の最新の発見を伝えてくれたメルセンヌ神父と
確率論を一緒につくりあげたパスカルだけであった。

フェルマーは一冊の本も、論文も発表していない。
彼の長男であるクレマン・サミュエルが、
父の手紙やメモや「算術」という
数学書の余白にかかれた走り書きをまとめた。
それによりフェルマーの驚くべき数学的発見が明らかになる。

ニュートンに影響を与えた微積分法、
保険会社の基礎となった確率論。
新しい友愛数の発見。素数定理などなど。

フェルマーの発見した定理は
ひとつづつ検証され証明されていった。
しかし、ひとつだけガンとして証明を拒んだ定理があった。

Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ nが2以上の場合、nは整数の解を持たない。

フェルマーのメモにはこう書かれてあった。
私はこの命題の真に驚くべき証明を持っているが
余白が狭すぎてここには記せない。

フェルマーの最終定理。
人類300年の挑戦がはじまった。

フェルマーの最終定理　200年間の攻防

フェルマーの最終定理において
フェルマーは、大きなヒントを残していた。
n=4の場合には解がないことを証明していた。

アルゴリズムを開発した18世紀最高の数学者オイラーは、
n=3の場合を証明した。

100年間で証明されたのはたったのひとつの数の場合だった。

19世紀に入り、ソフィー・ジェルマンがおおきな成果を上げる。
彼女は女性であるがゆえに大学で研究ができなかったが、
彼女の開発した方法を元に
n=5の場合とn=7の場合が証明された。

n=7の場合を証明したラメは、
その数年後に完全な証明を発表するが
クンマーにより重大な欠点を指摘されてしまう。

その指摘は、当時の数学テックニックでは
フェルマーの最終定理を証明できないことを
示すものだった。

フェルマーの最終定理　失恋が生んだ光

20世紀に入り、
数学者の関心はフェルマーの最終定理から離れていった。

しかし、新たな光を当てられるようになったのは
とある失恋がきっかけだった。

パウル・ヴォウルスケールは
ドイツ有数の資本家であり数学者でもあった。

ある日、彼は女性にふられてしまう。
絶望の淵に沈んだ彼は、自殺を決意する。
綿密に計画を立て日取りを決め
深夜零時にピストル自殺をすることを決める。

自殺決行の日時までに、
残された仕事をし、手紙を書き、遺言を書く。

しかし、零時前にすべてのことが終わってしまうと、
彼は数学の本を読み始めた。

その時、ラメが行ったフェルマーの最終定理の証明についての
クンマーの反論にギャップを見つけると
ヴォウルスケールはその検証に没頭しはじめた。
結果、クンマーの反論は揺るぎないものであることが分かったが、
気がつくと世が明けていた。

ヴォウルスケールは遺言を破り捨てた。

そして、フェルマーの最終定理を証明した者に
財産の大部分をあてた懸賞金を与えると発表した。

送られてきた証明のファイルは30年で3メートルになった。

フェルマーの最終定理　極東の2人の天才

志村五郎は第二次世界大戦中は、
飛行機を組み立てる工場で働いていた。

実験室も器具もいらず、
教科書があれば学べるからと、数学を勉強した。

戦争が終わり東京大学に入学し、谷山豊(とよ)と出会う。

志村は几帳面だったが、谷山はずさんだった。
緻密にものごとを進める志村は、
過ちを犯しながらも大胆に真理に向かう谷山が羨ましかった。

極端な対称性を示すモジュラー形式という領域が19世紀に生まれた。
谷山はその生まれたばかりのモジュラー形式を
ピタゴラスにまで遡る由緒ある楕円方程式と
実質同じではないかという仮説を唱えた。

この異端な説の味方は志村だけであった。
志村は友人の説を裏付ける研究に取りかかる。

しかし、将来への自信を失ったという理由で、
谷山は自ら命を絶ってしまう。

フェルマーの最終定理　つながる2つの世界

数学者・志村五郎は、
プリンストン大学で2年間客員教授を務めると日本に帰国した。

彼は、亡くなった彼の親友である谷山が唱えた
モジュラー形式と楕円方程式の関係性について
もてる力をすべて注いで研究した。

志村はひとつづつ証拠を積み上げ、
モジュラー形式と楕円方程式の理論は
広く受け入れられるようになった。

モジュラー形式と、楕円方程式という、
別々だと思われていた世界がつながることは
非常に意味があった。

その理論は数学界のロゼッタストーンと呼ばれ
谷山・志村予想と呼ばれた。

1987年。
ゲルハルト・フライはシンポジウムで驚くべき発表をした。
谷山・志村予想を証明することは
フェルマーの最終定理を証明することにつながる、と。

フェルマーの最終定理　つながる2つの世界

アンドリュー・ワイズは
10歳の時にミルトン通りにある小さな図書館で
フェルマーの最終定理に出会った。

彼はすぐさま、証明に取りかかったが
もちろん正解は得られなかった。

それから30年後。
ワイズは、ケンブリッジのニュートン研究所で、
チョークを走らせている。

聴衆は歴史的瞬間に立ち会えると緊張し、興奮していた。
3枚ある黒板がすべて数式で埋まり、
最初の一枚が消され、また、数式で埋まった。
最後の一行を書くとワイズはチョークを置いてこう言った。
「ここで終わりにしたいと思います」

ワイズの証明は論文にすると200ページあった。
そこには、あらゆる分野の古典から最新の数学が
駆使され深められていた。

ワイズの論文を読んだ数学者は言った。
数学者は各々バラバラに目標をたて研究をしていたが、
実は、みなフェルマーの最終定理に取り組んでいたんだ。